Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）当时，在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，在，上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出导函数，令，只需，由，讨论的取值范围，根据导数与函数单调性的关系即可求解.

（Ⅱ）将不等式转化为在上恒成立，令，求出，讨论的取值范围，当时，令，利用导数研究的单调性，确定的符号，进而可到的单调性，根据单调性即可求解.

（Ⅰ），

令，即，，

∵，

①当时，，，，

∴在，上单调递减，

在上单调递增；

②当时，，在上单调递减；

（Ⅱ）当时，在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

当时，在上，都有，，

即恒成立，与题意矛盾；

当时，令，，

当时，恒成立，

当时，，在上单调递减，，

①若，即，时，，

∴，在上单调递减，∴成立，

②当，即，，

∴存在使得，，，，，

在单调递增，∴存在使得与题意矛盾，

综上所述.