Question

【题目】已知点F为椭圆的右焦点，点A为椭圆的右顶点.

（1）求过点F、A且和直线相切的圆C的方程；

（2）过点F任作一条不与轴重合的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线相交于点M，N.试证明：以线段MN为直径的圆恒过点F.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

由已知可得，即可求出其中垂线,即可得出半径为7,即可求出圆心坐标.即可写出圆C的方程.

以线段MN为直径的圆恒过点等价于,讨论直线的斜率是否存在，写出直线，联立解出P、Q,结合写出直线,即可得到点M，N，结合，即可说明.

（1）由已知得：

圆C的圆心一定在线段AF中垂线上

由圆C与直线相切，得：圆C的半径

设圆C的圆心坐标为，则有：

，

即圆心

圆C的方程为：

（2）证明：当直线斜率不存在时，其方程为,

联立,解得，又因为.

所以直线为.

可求得M,N两点坐标分别为或，又

的斜率之积为：

.

当直线斜率存在时，设直线的方程为：

联立方程组：，

消去整理得：

又设

由P,A,M共线得：，

由Q,A,N共线得：，

所以FM,FN的斜率之积为：

综上可知：恒有

以线段MN为直径的圆恒过点F.