Question

3．试证数列49.4489.444889，…，$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}9$的每一项都是完全平方数．

Answer 1

分析 设该数列为{a_n}，可得a_n=$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}9$=9+$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}$0+$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{00…0}}{n}$=9+$\frac{8}{9}（1{0}^{n}-10）$+$\frac{4}{9}$（10²ⁿ-10ⁿ），化简即可得出．

解答 解：设该数列为{a_n}，
$\underset{\underbrace{99…9}}{n}$=10ⁿ-1，$\underset{\underbrace{88…8}}{n}$=$\frac{8}{9}（1{0}^{n}-1）$．
∴a_n=$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}9$=9+$\underset{\underbrace{88…8}}{n-1}$0+$\underset{\underbrace{44…4}}{n}$$\underset{\underbrace{00…0}}{n}$=9+$\frac{8}{9}（1{0}^{n}-10）$+$\frac{4}{9}$（10²ⁿ-10ⁿ）=$（\frac{2•1{0}^{n}+1}{3}）^{2}$，
∴数列的每一项都是完全平方数．

点评 本题考查了数列的通项公式、完全平方数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．