Question

【题目】设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）= ，f（2）= ，则x＞0时，f（x）（ ）
A.有极大值，无极小值
B.有极小值，无极大值
C.既有极大值又有极小值
D.既无极大值也无极小值

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）满足 ，
∴
令F（x）=x2f（x），则F′（x）= ，
F（2）=4f（2）= ．
由 ，得f′（x）= ，
令φ（x）=ex﹣2F（x），则φ′（x）=ex﹣2F′（x）= ．
∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．
∴φ（x）≥0．
又x＞0，∴f′（x）≥0．
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
∴f（x）既无极大值也无极小值．
故选D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导，以及对函数的极值的理解，了解极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．