Question

函数f（x）=asinx+cosx在[

π

6

，

π

4

]上单调递增，则a的范围为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：先看a=0时，已知条件不成立，再看a≠0时，利用辅角公式对函数解析式化简，根据三角函数的单调性求得φ的范围，则a的范围可求．

解答： 解：①当a=0时，f（x）=cosx在[

π

6

，

π

4

]上单调递减，结论不成立，
②当a≠0时，
f（x）=asinx+cosx=

a2+1

•sin（x+φ），其中tanφ=

1

a

，
要使函数单调增需-

π

2

≤x+φ≤

π

2

，
-

π

2

-φ≤x≤

π

2

-φ，
∵函数f（x）在[

π

6

，

π

4

]上单调递增，
∴

π

2

-φ≥

π

4

，
-

π

2

-φ≤

π

6

，
求得-

2π

3

≤φ≤

π

4

，
∴tanφ≤1，或tanφ≥

3

，
即

1

a

≤1，或

1

a

≥

3

，
∴a≥1或a＜0，或0＜a≤

3

3

，
故a的范围为（-∞，0）∪（0，

3

3

]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查了三角函数的性质，三角函数的单调性，辅角公式的运用．解题的关键是求得φ的范围．