Question

已知四棱锥P—ABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点.

(1)求四棱锥P—ABCD的体积；

(2)若点F在线段BD上且DF=3BF，则当等于多少时，有EF∥平面PAB？并证明你的结论；

(3)试证明P、A、B、C、D五个点在同一球面上.

Answer 1

解:(1)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.

∴V_P—ABCD=S_{正方形ABCD}·PC=.

(2)当=时,有EF∥平面PAB.

连结CF延长交AB于G，连结PG，在正方形ABCD中，DF=3BF.

由△BFG∽△DFC得.

在△PCG中，,

∴EF∥PG.又PG平面PAB，EF平面PAB,

∴EF∥平面PAB.

(3)证明:取PA的中点O.连结OB、OC、OD，

连结AC，

在四棱锥P—ABCD中，侧棱PC⊥平面ABCD,

底面ABCD为正方形，

可知△PCA、△PBA、△PDA均是直角三角形，

又O为PA中点,∴OA=OP=OB=OC=OD.

∴点P、A、B、C、D在以点O为球心的球面上.