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已知函数的图象经过原点,且关于点(-1,1)成中心对称.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若数列{an}满足an>0,a1=1,,求数列{an}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,设数列{an}的前n项和为Sn,试判断Sn与2的大小关系,并证明你的结论.
【答案】分析:(1)f(0)=0,可求b=0.所以.由函数图象关于点(-1,1)成中心对称,可求a
(2)因为,且an>0,整理可得.从而得到数列是等差数列,可求
(3)由n≥2时,,从而放缩结合裂项求和即可求
解答:解:(1)因为函数的图象经过原点,
所以f(0)=0,即b=0.所以
因为函数的图象关于点(-1,1)成中心对称,
所以a=1.所以
(2)因为,且an>0,
所以,即,即
所以数列是首项为,公差为1的等差数列.
所以,所以(n∈N*).
(3)当n=1时,S1=a1=1<2;
当n≥2时,
所以
综上所述,Sn<2(n∈N*).
点评:本题以函数中由函数的性质求解函数解析式为载体,重点考查了利用构造特殊数列(等差、等比)求解数列的通项公式,及裂项求和,要注意放缩法在解题中的应用.
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