Question

已知函数的图象经过原点，且关于点（-1，1）成中心对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足a_n＞0，a₁=1，，求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列{a_n}的前n项和为S_n，试判断S_n与2的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（0）=0，可求b=0．所以．由函数图象关于点（-1，1）成中心对称，可求a
（2）因为，且a_n＞0，整理可得．从而得到数列是等差数列，可求
（3）由n≥2时，，从而放缩结合裂项求和即可求
解答：解：（1）因为函数的图象经过原点，
所以f（0）=0，即b=0．所以．
因为函数的图象关于点（-1，1）成中心对称，
所以a=1．所以．
（2）因为，且a_n＞0，
所以，即，即．
所以数列是首项为，公差为1的等差数列．
所以，所以（n∈N^*）．
（3）当n=1时，S₁=a₁=1＜2；
当n≥2时，，
所以．
综上所述，S_n＜2（n∈N^*）．
点评：本题以函数中由函数的性质求解函数解析式为载体，重点考查了利用构造特殊数列（等差、等比）求解数列的通项公式，及裂项求和，要注意放缩法在解题中的应用．