Question

（12分）已知二次函数f （x）=,设方程f （x）

=x的两个实根为x₁和x₂．

（1）如果x₁<2＜x₂<4，且函数f （x）的对称轴为x=x₀，求证：x₀＞—1；

（2）如果∣x₁∣<2，，∣x₂—x₁∣=2，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）设g（x）= f （x）—x

=，且g（4）>0，即

∴

（2）由g（x）=．

①若0<x₁<2，则x₂一x₁=2，即x₂=x₁+2>2，∴g（2）=4a+2b—1<0，

又，代入上式得

②若一2<x₁<0，则x₂=一2+x₁<一2，∴g（一2）<0，即4a－2b+3<0，同理可求得．

故当0<x₁<2时，；当一2<x₁<0时，．

 

【解析】本题涉及的变量较多,因此弄清问题的意义，确定变量并寻找变量间的关系就显

得特别重要。

（1） 变量情况。

主要变量：限制在10秒和60秒之间的两次广告时间；

制约变量：总的费用≤36 000元，需影响年轻人数≥1500千人，需影响中年人数≥2 000

千人，需影响老年人数≥2000千人。

（2） 变量间的关系：

总的费用=（购买的时间×每秒价格）之和；

影响的人数=（购买的时间×相应年龄组每秒影响的人数）之和；

销售额=（占影响人数的份额×对应组影响的人数）之和。

（3）建模与求解：记x、y分别表示早、晚购买的时间（秒）；S=第一个月的销售额（用千人表示），C=总的费用（元）；Y、M、O分别表示年轻、中年、老年组受到广告影响的人数（千人）。于是有：

C=400x＋600y ≤3 600,

Y=30x＋50y≥1500,

M=100x＋80y≥2 000, （*）

O=50x＋40y≥2 000,

10≤x≤60, 10≤y≤60

要求S=0．1Y＋0．05M＋0．02O=9x＋9．8y的最大值。

符合约束条件（*）的点（x,y）在如上图所示的六边形区域内，求S=9x+9．8y的最大值转化为求直线y=9x/9．8＋S/9．8的截距S/9．8的最大值。由图知，当此直线过图中直线400x+600y=3600和x =60的交点A（60,20）时，截距最大,此时Smax=9×60+9．8×20=736（千人）。

（4） 结论：如上讨论可知，满意的结果是第一个月的销售额是736 000（份）只要购买晚八叫点前60秒和九点后20秒的广告即可。此时，花掉了所有的预算并超过所有年龄组所要求影响的人数。