Question

已知命题P：方程x²+（a²-1）x+a-2=0的两根为x₁和x₂，且x₁＜1＜x₂＜2；命题q：方程|x|+|x-

1

2

|＞a恒成立；若P或q为真，P且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据方程的根与函数零点的对应关系，根据方程x²+（a²-1）x+a-2=0的两根为x₁和x₂，且x₁＜1＜x₂＜2，我们可得对应函数f（x）=x²+（a²-1）x+a-2的两个零点分别位于区间（-∞，1），（1，2）上，结合二次函数的图象和性质可得

f(1)＜0 f(2)＞0

解不等式可得命题p为真时，参数a的范围，根据方程|x|+|x-

1

2

|＞a恒成立，结合g（x）=|x|+|x-

1

2

|≥

1

2

恒成立，我们易求出命题q为真时，参数a的范围，结合P或q为真，P且q为假，可得P与q中必然一真一假，分别讨论p真q假时与p假q真时参数a的范围，综合讨论结果，即可得到参数a的范围．

解答：解：∵方程x²+（a²-1）x+a-2=0的两根为x₁和x₂，
若x₁＜1＜x₂＜2成立
令f（x）=x²+（a²-1）x+a-2
则

f(1)＜0 f(2)＞0

即

a2+a-2＜0 2a2+a＞0

解得a∈（-2，-

1

2

）∪（0，1）
令g（x）=|x|+|x-

1

2

|
则g（x）≥

1

2

恒成立
若方程|x|+|x-

1

2

|＞a恒成立
则a∈（-∞，

1

2

）
又∵P或q为真，P且q为假，
故P与q中必然一真一假
当p真q假时，a∈[

1

2

，1）
当p假q真时，a∈（-∞，-2]∪[-

1

2

，0]
综上实数a的取值范围为：（-∞，-2]∪[-

1

2

，0]∪[

1

2

，1）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，方程根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，绝对值函数的图象和性质，函数恒成立问题，其中分别求出命题p，q为真是参数a的取值范围，是解答本题的关键．