Question

9．在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$．
（1）证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）两边取倒数，再两边加$\frac{1}{2}$，结合等比数列的定义，即可得证；
（2）运用等比数列的求和公式，计算即可得到所求；
（3）由（1）运用等比数列的通项公式，化简即可得到所求．

解答 解：（1）证明：a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，可得：
$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，即有$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{2}$=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$），
可得b_n+1=3b_n，
即有数列{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列；
（2）前n项和S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）；
（3）由（1）可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=3^n-1，
即有a_n=$\frac{2}{2•{3}^{n-1}-1}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用构造法和等比数列的定义、通项公式和求和公式，考查运算能力，属于中档题．