Question

18．（1）设f（x）的定义域为R的函数，求证：F（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）+f（-x）]是偶函数；G（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）-f（-x）]是奇函数．
（2）利用上述结论，你能把函数f（x）=3x³+2x²-x+3表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义，即可证明；
（2）利用（1）的结论，即可把函数f（x）=3x³+2x²-x+3表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式．

解答 （1）证明：首先F（x）和G（x）的定义域为R，是关于原点对称的．
F（-x）=$\frac{1}{2}$[f（-x）+f（x）]=F（x），∴F（x）是偶函数
G（-x）=$\frac{1}{2}$[f（-x）-f（x）]=-G（x），∴G（x）是奇函数；
（2）解：f（-x）=-3x³+2x²+x+3，∴F（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）+f（-x）]=2x²+3，G（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）-f（-x）]=3x³-x．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．