Question

8．在△ABC中，若tanA=2，tanB=3，且AB=$\sqrt{2}$，则AC=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 利用三角形的内角和以及两角和的正切函数，求解角C的正切值，然后求解角的大小，利用同角三角函数基本关系式，求出B的正弦函数值，然后利用正弦定理通过AB=$\sqrt{2}$，即可求AC．

解答 解：（1）∵A+B+C=π，
∴tanC=-tan（A+B）
∵tanA=2，tanB=3，
tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{2+3}{1-6}$=-1，
∴tanC=1，
∵C是三角形的内角．
∴C=$\frac{π}{4}$，
∵tanB=3，可得：sinB=3cosB，
而sin²B+cos²B=1，且B为锐角，可求得sinB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
所以在△ABC中，由正弦定理得，AC=$\frac{AB}{sinC}$×sinB=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

点评 本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求，属于中档题．