Question

18．已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（xy）=f（x）f（y），且f（-1）=1，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令y=-1，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；
（2）先证明当x＞0时，f（x）＞0，再利用已知和单调函数的定义，证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性；

解答 解：（1）令y=-1，则f（-x）=f（x）•f（-1），
∵f（-1）=1，∴f（-x）=f（x），且x∈R
∴f（x）为偶函数．
（2）设0≤x₁＜x₂，则0≤$\frac{x_1}{x_2}$＜1，
∴f（x₁）=$f（\frac{x_1}{x_2}•{x_2}）$=$f（\frac{x_1}{x_2}）$•f（x₂），
则f（x₁）-f（x₂）═$f（\frac{x_1}{x_2}）$•f（x₂）-f（x₂）=[$f（\frac{x_1}{x_2}）$-1]•f（x₂），
当x=1时，f（1）=f（-1）=1，
当x＞1时，$\frac{1}{x}$∈（0，1），
则f（x）•f（$\frac{1}{x}$）=f（x•$\frac{1}{x}$）=f（1）=1，
则f（x）=$\frac{1}{f（\frac{1}{x}）}$＞1，即当x＞0时，f（x）＞0，
∵0≤$\frac{x_1}{x_2}$＜1，
∴0≤$f（\frac{x_1}{x_2}）$＜1，即$f（\frac{x_1}{x_2}）$-1＜0，
综上f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法