Question

13．如图，抛物线y=ax²+2x-6与X轴交于点A（-6，0），B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线BD与抛物线交于点D，点D与点C关于该抛物线的对称轴对称．
（1）连接CD，求抛物线的解析式和线段CD的长度；
（2）在线段BD下方的抛物线上有一点P，过点P作PM∥x轴，PN∥y轴，分别交BD于点M，N，当△MPN的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）代入A的坐标，可得a的值；分别求得B，C，求得对称轴，可得D的坐标，求得CD的长；
（2）求出直线BD的方程，设出P的坐标，求得M，N的坐标，可得PM，PN的长，运用面积公式可得三角形PMN的面积，再由二次函数的最值的求法，可得最大值及此时P的坐标．

解答 解：（1）由A（-6，0），可得36a-12-6=0，
解得a=$\frac{1}{2}$，即有y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6，
由y=0，可得x=-6或2，
即有B（2，0），C（0，-6），
抛物线的对称轴为x=-2，
即有D（-4，-6），则CD的长度为4；
（2）直线BD的斜率为k=$\frac{0+6}{2+4}$=1，
直线BD的方程为y=x-2，
可令P（m，$\frac{1}{2}$m²+2m-6），-4＜m＜2，
将x=m代入直线BD方程可得y=m-2，
即有|PN|=|$\frac{1}{2}$m²+m-4|，
将y=$\frac{1}{2}$m²+2m-6代入直线BD的方程可得x=$\frac{1}{2}$m²+2m-4，
即有|PM|=|$\frac{1}{2}$m²+m-4|，
则△MPN的面积为S=$\frac{1}{2}$|PM|²=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$m²+m-4）²
=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（m+1）²-$\frac{9}{2}$]²，-4＜m＜2，
当m=-1时，S=$\frac{81}{8}$，当m=-4或2时，S=0．
即有m=-1时，面积取得最大值，且为$\frac{81}{8}$．
此时P的坐标为（-1，-$\frac{15}{2}$）．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用代入法，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用直线方程和二次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．