Question

10．奇函数f（x）满足件f（x+2）+f（x）=0，（x∈R），若x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，则f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$125）=-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．

解答 解：∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），f（0）=0，
又∵f（x+2）+f（x）=0，
∴f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
log${\;}_{\frac{1}{8}}$125=$\frac{lo{g}_{2}{5}^{3}}{lo{g}_{2}\frac{1}{8}}$=$\frac{3lo{g}_{2}5}{-3}$=-log₂5，
则f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$125）=f（-log₂5）=-f（log₂5），
∵2＜log₂5＜3，
∴0＜log₂5-2＜1，
即0＜log₂$\frac{5}{4}$＜1，
则f（log₂$\frac{5}{4}$）=${2}^{lo{g}_{2}\frac{5}{4}}$-1=$\frac{5}{4}$-1=$\frac{1}{4}$，
即f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$125）=f（-log₂5）=-f（log₂5）=-$\frac{1}{4}$，
 故答案为：-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性和周期性的应用以及利用周期性求函数值，体现转化的数学思想．