Question

15．已知不等式log_a（1-$\frac{1}{x+2}$）＞0的解集是（-∞，-2），则a的取值范围是（　　）

• A． 0＜a$＜\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$＜a＜1
• C． a＞2
• D． a＞1

Answer 1

分析 由已知$lo{g}_{a}\frac{x+1}{x+2}$＞0的解集是（-∞，-2），根据a＞1和0＜a＜1进行分类讨论，能求出a的取值范围．

解答 解：∵log_a（1-$\frac{1}{x+2}$）＞0的解集是（-∞，-2），
∴$lo{g}_{a}\frac{x+1}{x+2}$＞0的解集是（-∞，-2），
当a＞1时，$\frac{x+1}{x+2}$＞1，解得x＜-2满足条件，a＞1成立；
当0＜a＜1时，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x+2}＞0}\\{\frac{x+1}{x+2}＜1}\end{array}\right.$，解得x＞-2，不成立．
∴a的取值范围是a＞1．
故选：D．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．