Question

10．试求下列函数的定义域与值城：
（1）f（x）=（x-1）²+1，x∈{-1，0，1，2，3）；
（2）y=（x-1）²+1；
（3）y=$\frac{5x+4}{x-1}$；
（4）y=x-$\sqrt{x+1}$．

Answer 1

分析 结合二次函数的性质分别求出函数的定义域和值域即可．

解答 解：（1））f（x）=（x-1）²+1，x∈{-1，0，1，2，3}，
定义域是：{-1，0，1，2，3}；
值域是：{1，2，5}；
（2）y=（x-1）²+1；
定义域是R，值域是：[1，+∞）；
（3）y=$\frac{5x+4}{x-1}$，
定义域是：{x|x≠1}，
y=$\frac{5x+4}{x-1}$=5+$\frac{9}{x-1}$，
x→1时，y→∞，x→∞时，y→5，
值域是：（-∞，5）∪（5，+∞）；
（4）y=x-$\sqrt{x+1}$，
定义域是：[-1，+∞），
设$\sqrt{x+1}$=t，则x=t²-1，（t≥0），
则y=t²-t-1=${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{5}{4}$，
∵t≥0，
∴y在[0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
∴y_最小值=-$\frac{5}{4}$，
∴函数的值域是[-$\frac{5}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的定义域、值域问题，考查二次函数的性质，是一道基础题．