Question

19．求下列函数的值域：
（1）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$；
（2）y=x+$\frac{1}{x}$+1．

Answer 1

分析 （1）分离常数可得y=-1+$\frac{2}{{x}^{2}+1}$，由x²+1≥1结合不等式的性质可得函数的值域；
（2）当x＞0时，由基本不等式可得y=x+$\frac{1}{x}$+1≥3，当x＜0时，由基本不等式可得y≤-1，综合可得函数的值域．

解答 解：（1）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{-（{x}^{2}+1）+2}{{x}^{2}+1}$=-1+$\frac{2}{{x}^{2}+1}$，
∵x²+1≥1，∴0＜$\frac{2}{{x}^{2}+1}$≤2，∴-1＜-1+$\frac{2}{{x}^{2}+1}$≤1，
∴y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$的值域为（-1，1]；
（2）当x＞0时，由基本不等式可得y=x+$\frac{1}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1=3，
当且仅当x=$\frac{1}{x}$即x=1时取等号；
当x＜0时，由基本不等式可得y=x+$\frac{1}{x}$+1=-（-x+$\frac{1}{-x}$）+1
≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{1}{-x}}$+1=-1，当且仅当-x=-$\frac{1}{x}$即x=-1时取等号；
综上可得函数y=x+$\frac{1}{x}$+1的值域为（-∞，-1]∪[3，+∞）

点评 本题考查函数的值域，涉及分类常数法和基本不等式法，属中档题．