Question

20．在数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$a_n
（1）求{a_n}的通项公式a_n
（2）S_n为数列{a_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$a_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{1}{3}×\frac{{a}_{n}}{n}$，从而得到{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比数列，由等比数列通项公式能求出{a_n}的通项公式．
（2）利用错位相减法能求出数列{a_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵在数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$a_n，
∴a_n＞0，$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{1}{3}×\frac{{a}_{n}}{n}$，$\frac{{a}_{1}}{1}=\frac{1}{3}$，
∴{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴a_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
（2）∵${a}_{n}=\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}+…+\frac{n}{{3}^{n}}$，①
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+\frac{3}{{3}^{4}}+…+\frac{n}{{3}^{n+1}}$，②
①-②，得：
$\frac{2}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}-\frac{n}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
∴${S}_{n}=\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-\frac{n}{2×{3}^{n}}$=$\frac{{3}^{n+1}-3-2n}{4×{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法及数列求和，是中档题，利用错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．