Question

已知定义域为R的函数f（x）=

1-2x

1+2x

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并用奇偶性的定义证明；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，再用奇偶性的定义证明；
（2）先把y=f（x）的表达式变形为f(x)=

2-(1+2x)

1+2x

=

2

1+2x

-1，再用单调性的定义证明；
（3）由第（2）问，函数f（x）为减函数，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，即不等式f（t²-2t）＜f（k-2t²）恒成立，
从而不等式t²-2t＞k-2t²恒成立．

解答： 解：（1）函数f（x）=

1-2x

1+2x

为偶函数，下面给出证明：
?x∈R，1+2^x≠0，故函数的定义域为R，∴定义域关于原点对称，
又f(-x)=

1-2-x

1+2-x

=

2x-2-x•2x

2x+2-x•2x

=

2x-1

2x+1

=-

1-2x

1+2x

=-f(x)，
∴y=f（x）为奇函数．
（2）f(x)=

2-(1+2x)

1+2x

=

2

1+2x

-1，
设x₁＜x₂，∴f（x₁）-f（x₂）=(

2

1+2x1

-1)-(

2

1+2x2

-1)=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵函数y=2^x为增函数，又∵x₁＜x₂，∴2x2＞2x1，∴2x2-2x1＞0，
∵(1+2x1)(1+2x2)＞0，∴

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可得f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，即不等式f（t²-2t）＜f（k-2t²）恒成立，从而不等式t²-2t＞k-2t²恒成立，
∴k＜3t²-2t，∴k小于3t²-2t的最小值即可，
3t²-t=3(t-

1

6

)2-

1

12

≥-

1

12

，∴k＜-

1

12

．

点评：本题考查函数定义域、函数奇偶性的判断，利用单调性的定义证明函数的单调性，属基础题，同时利用单调性解不等式，恒成立的问题转化为求函数的最值，是常见题型．