Question

本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或严三步骤．
已知向量

m

=（sinωx，cosωx），

n

=（cosx，cosx），其中ω＞0，函数f（x）=2

m

•

n

-1的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在[

π

6

，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）将f（x）利用向量的数量积的运算化简为简单的三角函数形式，从而由周期公式可求ω的值；
（Ⅱ）由已知x范围，先确定2x+

π

4

的取值范围，又函数y=sinx在[

7π

12

，

3π

4

]上是减函数，故可求函数f（x）在在[

π

6

，

π

4

]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

m

•

n

-1=2sinωx•cosωx+2cos²ωx-1=sin2ωx+cos2ωx=

2

sin（2ωx+

π

4

）．  
由题意知：T=π，即

2π

2ω

=π，
解得ω=1．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f（x）=

2

sin（2ωx+

π

4

），
∵x∈[

π

6

，

π

4

]，得2x+

π

4

∈[

7π

12

，

3π

4

]，
又函数y=sinx在[

7π

12

，

3π

4

]上是减函数，
∴f（x）_max=

2

sin

7π

12

=

2

sin（

π

4

+

π

3

）=

2

sin

π

4

cos

π

3

+

2

cos

π

4

sin

π

3

=

3 +1

2

．

点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及利用倍角公式化简三角函数解析式、求三角函数的最值，属于中档题．