Question

3．已知函数f（x）的定义域是（0，1]，求φ（x）=f（x+a）+f（x-a），（-1＜a＜0）的定义域．

Answer 1

分析 由函数f（x）的定义域是（0，1]，求出f（x+a）、f（x-a）的定义域，然后对a分类求解φ（x）=f（x+a）+f（x-a），（-1＜a＜0）的定义域．

解答 解：∵函数f（x）的定义域是（0，1]，
∴由0＜x+a≤1，得-a＜x≤1-a，
∴f（x+a）的定义域为（-a，1-a]；
由0＜x-a≤1，得a＜x≤1+a，
∴f（x-a）的定义域为（a，1+a]．
当-1$＜a≤-\frac{1}{2}$时，1+a≤-a，
取交集可得φ（x）=f（x+a）+f（x-a）的定义域为∅；
当$-\frac{1}{2}＜a＜0$时，-a＜1+a＜1-a，
取交集可得φ（x）=f（x+a）+f（x-a）的定义域为（-a，1+a]．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的解决方法，同时体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．