Question

11．如图所示，已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E-ABCD的外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{16π}{3}$
• B． 8π
• C． 16π
• D． 64π

Answer 1

分析 设球心到平面ABCD的距离为d，利用△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E到平面ABCD的距离为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，从而R²=（$\frac{\sqrt{4+9}}{2}$）²+d²=1²+（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-d）²，求出R²=4，即可求出多面体E-ABCD的外接球的表面积．

解答 解：设球心到平面ABCD的距离为d，则
∵△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，
∴E到平面ABCD的距离为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴R²=（$\frac{\sqrt{4+9}}{2}$）²+d²=1²+（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-d）²，
∴d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，R²=4，
∴多面体E-ABCD的外接球的表面积为4πR²=16π．
故选：C．

点评 本题考查多面体E-ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出多面体E-ABCD的外接球的半径是关键．