【题目】已知椭圆C:的离心率,左、右焦点分别为,抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆M:的切线与椭圆相交于A、B两点,那么以AB为直径的圆是否经过定点?如果是,求出定点的坐标;如果不是,请说明理由,
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)根据抛物线的方程确定椭圆的顶点,结合离心率可得a、b的值,进而求得椭圆的方程;
(2)首先利用特殊情况确定点的坐标,然后根据直线和圆、椭圆的位置关系验证以AB为直径的圆是否过定点.
(1)因为椭圆的离心率,所以,即.
因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点,
所以,所以.所以椭圆的方程为.
(2)(i)当直线的斜率不存在时.
因为直线与圆相切,故其中的一条切线方程为.
由,不妨设,,
则以为直径的圆的方程为.
(ii)当直线的斜率为零时.
因为直线与圆相切,所以其中的一条切线方程为.
由,不妨设,,
则以为直径的圆的方程为.
显然以上两圆都经过点.
(iii)当直线的斜率存在且不为零时.
设直线的方程为.
由消去,得,
所以设,,则,.
所以.
所以.①
因为直线和圆相切,所以圆心到直线的距离,
整理,得, ②
将②代入①,得,显然以为直径的圆经过定点,
综上可知,以为直径的圆过定点.
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【题目】已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围.
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【题目】为了解某社区居民有无收看“奥运会开幕式”,某记者分别从某社区60~70岁,40~50岁,20~30岁的三个年龄段中的160人,240人,x人中,采用分层抽样的方法共抽查了30人进行调查,若在60~70岁这个年龄段中抽查了8人,那么x为( ) .
A. 90 B. 120 C. 180 D. 200
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【题目】已知椭圆的离心率为,过右焦点作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于和四点.设的中点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线是否经过定点?若是,求出定点坐标;若否,请说明理由.
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【题目】某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个,每个生日蛋糕成本为50元,每个蛋糕的售价为100元,如果当天卖不完,剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位:个),得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.
(1)若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.
①求当天的利润(单位:元)关于当天需求量的函数解析式;
②求当天的利润不低于600元的概率.
(2)若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕,请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据,应该制作16个还是17个生日蛋糕?
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【题目】为了解某校高二名学生的体能情况,随机抽查部分学生,测试分钟仰卧起坐的成绩(次数),将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图,根据统计图的数据,下列结论错误的是( )
A.该校高二学生分钟仰卧起坐的次数超过次的人数约有人
B.该校高二学生分钟仰卧起坐的次数少于次的人数约有人
C.该校高二学生分钟仰卧起坐的次数的中位数为次
D.该校高二学生分钟仰卧起坐的次数的众数为次
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;
(2)设点,直线与曲线相交于两点、,求的值.
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【题目】已知椭圆:的离心率为,椭圆:经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点是椭圆上的任意一点,射线与椭圆交于点,过点的直线与椭圆有且只有一个公共点,直线与椭圆交于,两个相异点,证明:面积为定值.
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