Question

【题目】已知椭圆：的左、右顶点分别是双曲线：的左、右焦点，且与相交于点()．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线：与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）以线段AB为直径的圆恒过定点.

【解析】

（1）根据点在双曲线上，求出，由椭圆的左右顶点是双曲线的左右焦点可求出，最后由点也在椭圆上求得.

（2）先把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用根据系数的关系得到，两点的横坐标关系.根据圆上任意一点到直径端点的构成的两个向量垂直，即数量积为0，则可求出以线段AB为直径的圆恒过定点.

解：（1）将代入

解得，.

将代入解得，

椭圆的标准方程为：；

（2）设，

由整理得

，

法一：由对称性可知，以AB为直径的圆若恒过定点，是定点必在y轴上.

设定点为，则

，解得，

以线段AB为直径的圆恒过定点

法二：设定点为，则

…

解得，

以线段AB为直径的圆恒过定点.