Question

【题目】已知函数．

(1)求函数的值域；

(2)试问：函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标；若不存在,说明理由；

(3)若方程的三个实数根、、满足：＜＜,且,求实数a的值．

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在,分别是,；(3)．

【解析】

(1)分别求出函数在每段上的值域,最后求出整个函数的值域即可.

(2)假设存在这样的点,不妨设,可求它的关于原点的对称点坐标,再代入函数解析式中,能求出说明存在性,求不出则说明不存在这样的点；

(3)判断之间的大小关系,然后分类化简方程,求出三个实数根、、,再根据,求出实数a的值.

(1)当时,

当时, ,因此函数的值域为；

(2) 假设存在这样的点,不妨设,它关于原点的对称点坐标为：

,由题意可知它也在函数图象上,因此有

(舍去),

因此存在这样两个点,坐标分别为和；

(3)由(1)可知：当时, ,显然此时, ,

当时,若时,解得,若时,解得

.

因此当时, ,此时方程化简为：

解得,因此有.

当时, ,此时方程化简为：,解得

,要想方程有三个不同的根,则必有,此时

成立,因此有,

又因为,

所以,解得(舍去), .

,因此.