【题目】已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论的单调性;
(2)当a﹤0时,证明.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)先求函数导数,再根据导函数符号的变化情况讨论单调性:当时, ,则在单调递增;当时, 在单调递增,在单调递减.(2)证明,即证,而,所以需证,设g(x)=lnx-x+1 ,利用导数易得,即得证.
试题解析:(1)f(x)的定义域为(0,+),.
若a≥0,则当x∈(0,+)时, ,故f(x)在(0,+)单调递增.
若a<0,则当x∈时, ;当x∈时, .故f(x)在单调递增,在单调递减.
(2)由(1)知,当a<0时,f(x)在取得最大值,最大值为
.
所以等价于,即.
设g(x)=lnx-x+1,则.
当x∈(0,1)时, ;当x∈(1,+)时, .所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时, ,即.
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【题目】【2017安徽淮北二模】选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中, 以为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 圆的极坐标方程为,直线的参数方程为 (t为参数), 直线和圆交于两点。
(Ⅰ)求圆心的极坐标;
(Ⅱ)直线与轴的交点为,求.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy中,已知直线l的参考方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数)。设p为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值
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【题目】一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是(﹣ ,2),则cx2+bx+a<0的解集是( )
A.(﹣3, )
B.(﹣∞,﹣3)∪( ,+∞)
C.(﹣2, )
D.(﹣∞,﹣2)∪( ,+∞)
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【题目】三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C为正方形,侧面AA1B1B⊥侧面BB1C1C,且AC=2,AB= ,∠A1AB=45°,E、F分别为AA1、CC1的中点.
(1)求证:AA1⊥平面BEF;
(2)求二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值.
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【题目】给出下列命题:
(1)函数y=tanx在定义域内单调递增;
(2)若α,β是锐角△ABC的内角,则sinα>cosβ;
(3)函数y=cos( x+ )的对称轴x= +kπ,k∈Z;
(4)函数y=sin2x的图象向左平移 个单位,得到y=sin(2x+ )的图象.
其中正确的命题的序号是 .
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【题目】设椭圆: ()的左右焦点分别为, ,下顶点为,直线的方程为.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点, 到直线的距离为,且三角形的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若斜率为的直线与椭圆相切,过焦点, 分别作, ,垂足分别为, ,求的最大值.
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【题目】通过随机询问110名性别不同的行人,对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查,得到如下的列联表:
男 | 女 | 总计 | |
走天桥 | 40 | 20 | 60 |
走斑马线 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
由 ,算得
参照独立性检验附表,得到的正确结论是( )
A.有99%的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”
B.有99%的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别无关”
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【题目】设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<0)的最小正周期为π,且f( )= .
(1)求ω和φ的值;
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.
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