【题目】设椭圆:
(
)的左右焦点分别为
,
,下顶点为
,直线
的方程为
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,
到直线
的距离为
,且三角形
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若斜率为的直线
与椭圆
相切,过焦点
,
分别作
,
,垂足分别为
,
,求
的最大值.
【答案】(1)(2)4
【解析】试题分析:(Ⅰ) 由直线斜率为 可得
,从而可得结果;(Ⅱ)(1)先求得
点坐标
,根据三角形面积可得
的值,从而可得椭圆方程,(2) 设直线
:
代入椭圆
的方程
中,
得
,判别式为零,及点到直线的距离公式可将
表示为
的函数,再利用基本不等式求解即可.
试题解析:(Ⅰ)由已知,则
.
,
(Ⅱ)(1)设点,于是
,
所以或
而 无解;
由得
.
又因为三角形面积
,所以
,
于是,椭圆的方程为.
(2)设直线:
代入椭圆
的方程
中,
得
由已知,即
同时,
①当时,
所以
当且仅当时等号成立
而时,
,因此
②当时,四边形
为矩形
此时
综上①②可知, 的最大值为4.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程和最值问题,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法,本题(Ⅱ)就是用的这种思路,利用均值不等式法的最大值的.
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【题目】设两个非零向量 和
不共线.
(1)如果 =
+
,
=2
+8
,
=3
﹣3
,求证:A、B、D三点共线;
(2)若| |=2,|
|=3,
与
的夹角为60°,是否存在实数m,使得m
+
与
﹣
垂直?并说明理由.
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【题目】已知椭圆:
的短轴长为
,右焦点为
,点
是椭圆
上异于左、右顶点
的一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与直线
交于点
,线段
的中点为
,证明:点
关于直线
的对称点在直线
上.
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【题目】函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为( )
A.y=2sin(2x+ )
B.y=2sin(2x+ )
C.y=2sin( ﹣
)
D.y=2sin(2x﹣ )
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【题目】已知函数f(x)=2sin(2x﹣ ),x∈R.
(1)在给定的平面直角坐标系中,画函数f(x)=2sin(2x﹣ ),x∈[0,π]的简图;
(2)求f(x)=2sin(2x﹣ ),x∈[﹣π,0]的单调增区间;
(3)函数g(x)=2cos2x的图象只经过怎样的平移变换就可得到f(x)=2sin(2x﹣ ),x∈R的图象?
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【题目】已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围.
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【题目】对于维向量
,若对任意
均有
或
,则称
为
维
向量. 对于两个
维
向量
定义
.
(1)若, 求
的值;
(2)现有一个维
向量序列:
若
且满足:
,求证:该序列中不存在
维
向量
.
(3) 现有一个维
向量序列:
若
且满足:
,若存在正整数
使得
为
维
向量序列中的项,求出所有的
.
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【题目】已知点,椭圆
的离心率为
是椭圆
的右焦点,直线
的斜率为
为坐标原点.
(1)求的方程;
(2)设过点的动直线
与
相交于
两点,当
的面积最大时,求
的方程.
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