Question

【题目】已知椭圆： 的短轴长为，右焦点为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与直线交于点，线段的中点为，证明：点关于直线的对称点在直线上．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）由短轴长为，得，结合离心率及可得椭圆的方程；

（Ⅱ）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”，设出直线的方程为，可解出， 的坐标，联立直线与椭圆的方程可得点坐标，分为当轴时，即可求得的角平分线所在的直线方程，可得证，当时，利用点到直线的距离可求出点到直线的距离，即可得结果.

试题解析：解：（Ⅰ）由题意得 解得， 所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”．

设直线的方程为，则．

设点，由得，得

① 当轴时， ，此时．所以．

此时，点在的角平分线所在的直线或，即平分．

② 当时，直线的斜率为，所以直线的方程为，所以点到直线的距离

．

即点关于直线的对称点在直线上．