Question

设函数y=f（x）是定义在R⁺上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y 都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1．
（1）求f（1），f（

1

9

）的值；
（2）证明：f（x）在R⁺上是减函数；
（3）如果不等式分f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求f（1），f（

1

9

）的值只需令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得f（1）；同理求出f（9），令x=9，xy=1，代入等式即可求得答案；
（2）证明f（x）在R⁺是减函数；取定义域中的任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂然后根据关系式f（xy）=f（x）+f（y），证明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（3）由（1）的结果可将不等式f（x）+f（2-x）＜2转化成f[x（2-x）]＜f（

1

9

），再根据单调性，列出不等式，解出取值范围即可．

解答：解：（1）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f（9）+f（

1

9

）=f（1）=0，则f（

1

9

）=2；
（2）取定义域中的任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•

x2

x1

）-f（x₁）=f（x₁）+f（

x2

x1

）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＜0
∴f（x）在R⁺上为减函数．
（3）由条件①及（1）的结果得：f[x（2-x）]＜f（

1

9

），其中0＜x＜2，
由可（2）得：

x(2-x)＞  1 9 0＜x＜2

，解得x的范围是（1-

2 2

3

，1+

2 2

3

）．

点评：此题主要考查抽象函数的一系列问题．其中涉及到函数单调性的证明，函数值的求解问题，属于综合性问题，涵盖知识点较多，属于中档题．