Question

如图，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，|φ|<)图像上一个最高点坐标为(2,2)，这个最高点到相邻最低点的图像与x轴交于点(5,0)．

(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在正整数m，使得将函数f(x)的图像向右平移m个单位后得到一个偶函数的图像？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）f(x)＝2sin，
（2）m的最小值为4.

试题分析：解：(1)由题意知A＝2，＝3，
∴T＝12，∴ω＝＝，
∴f(x)＝2sin，
∵图像过(2,2)，∴2＝2sin，
∴sin＝1，
令＋φ＝，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.     6分
(2)假设存在m，则有
f(x－m)＝2sin
＝2cos
＝2cos
∵f(x－m)为偶函数，
∴＋m＝kπ，k∈Z
∴m＝6k－2，∴k＝1时m＝4.
∴存在m，m的最小值为4.     13分
点评：主要是考查了三角函数的解析式以及性质的运用，属于中档题。