Question

已知直线l：x=4与x轴相交于点M，P是平面上的动点，满足PM⊥PO（O是坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过直线l上一点D（D≠M）作曲线C的切线，切点为E，与x轴相交点为F，若，求切线DE的方程．

Answer 1

解：（1）依题意，M（4，0），设P（x，y）（x≠0且x≠4），由PM⊥PO得k_PM•k_PO =-1，
即 ，整理得，动点P的轨迹C的方程为（x-2）²+y²=2²（x≠0且x≠4）．
（2）DE、DM都是圆（x-2）²+y²=2²的切线，所以，DE=DM，
因为，所以DF=2DE=2DM，所以，，
设C（2，0），在△CEF中，，，CE=2，所以，CF=4，F（-2，0），
切线DE的倾斜角，或． 所以，切线DE的斜率，或，
故切线DE的方程为．
分析：（1）设P（x，y），由PM⊥PO得k_PM•k_PO =-1，整理可得动点P的轨迹C的方程为（x-2）²+y²=2²（x≠0且x≠4）．
（2）由切线的性质可得DE=DM，因为，故有 DF=2DE=2DM，在△CEF中，求出CE=2 可得CF=4，F（-2，0），
由切线的倾斜角求得切线DE的斜率，点斜式求得切线DE的方程．
点评：本题考查求点的轨迹方程的方法，用点斜式求直线的方程，其中，轨迹方程中x≠0且x≠4容易被忽视，是易错点．