Question

已知函数f(x)=.

(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值；

(Ⅱ)求证：在区间(1,上函数f(x)的图像在函数g(x)=图像的下方；

(Ⅲ)请你构造函数(x)，使函数F(x)=f(x)+(x)在定义域(0,上，存在两个极值点，并证明你的结论.

Answer 1

解：(Ⅰ)

∵x>0, ∴>0,∴f(x)在（0，+¥）上是单调递增函数,

∴f(x)在区间[1,e]上的最大值为f(e)=,最小值为f(1)=

(Ⅱ)证明：设G（x）=g(x)-f(x),则G(x)=,

== ，

当x时，显然有，

∴G(x)在区间(1,上是单调增函数，

∴G(x)>G(1)=>0在(1,上恒成立，即g(x)>f(x)在(1,上恒成立，

∴在区间(1,上函数f(x)的图像在函数g(x)=图像的下方.

(Ⅲ)令(x)=-x,则F(x)=-x（x>0）,

令，得x=,或x=2,令得，0<x<,或x>2，令得，<x<2

∴当(x)=-x时，

函数F(x)=f(x)+(x)在定义域(0,上，存在两个极值点x₁=,x₂=2.