Question

【题目】已知圆恰好经过椭圆的两个焦点和两个顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）经过原点的直线 (不与坐标轴重合)交椭圆于两点， 轴，垂足为，连接并延长交椭圆于，证明：以线段为直径的圆经过点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由恰好经过椭圆的两个焦点和两个顶点可得， 从而可得椭圆的方程；（2）设直线的斜率为，可得线的斜率为， 的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得的坐标，可得直线的斜率为，即得，以线段为直径的圆一定经过点.

试题解析：（1）由题意可知， ， ，

所以椭圆的方程为.

（2）证明：设直线的斜率为， ，在直线的方程为，

.

直线的斜率为，所以直线的方程为，

联立得，

记横坐标分別为.由韦达定理知: ,

所以，于是，

所以直线的斜率为，

因为.所以，

所以以线段为直径的圆一定经过点.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.