精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数,前n项和为Sn,已知点Pn(xn,Sn)在直线y=kx+b上,(其中,常数k≠0,且k≠1),又yn=log0.5xn
(1)求证:数列{xn}是等比数列;
(2)如果yn=18-3n,求实数k,b的值;
(3)如果存在t,s∈N*,s≠t,使得点(t,ys)和(s,yt)都在直线y=2x+1上,试判断,是否存在自然数M,当n>M时,xn>1恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.
(1)∵点Pn(xn,Sn),Pn+1(xn+1,Sn+1)都在直线y=kx+b上,
∴Sn=kxn+b,Sn+1=kxn+1+b
两式相减得Sn+1-Sn=kxn+1-kxn,即xn+1=kxn+1-kxn
∵常数k≠0,且k≠1,∴
xn+1
xn
=
k
k-1
(非零常数)
∴数列xn是等比数列.
(2)由yn=log0.5xn,得xn=(
1
2
)yn=8n-6=8-58n-1

k
k-1
=8
,得k=
8
7

又Pn在直线上,得Sn=kxn+b,
令n=1得b=S1-
8
7
x1=-
1
7
x1=-
8-5
7

(3)∵yn=log0.5xn∴当n>M时,xn>1恒成立等价于yn<0恒成立.
又yn=log0.5xn=log0.5(x1•qn-1)=nlog0.5q+log0.5
x1
q

∴数列{yn}为等差数列
∵存在t,s∈N*,使得(t,ys)和(s,yt)都在y=2x+1上,
∴ys=2t+1 ①,yt=2s+1 ②.
①-②得:ys-yt=2(t-s),
∵s≠t∴yn是公差d=-2<0的等差数列
①+②得:ys+yt=2(t+s)+2,
又ys+yt=y1+(s-1)•(-2)+y1+(t-1)•(-2)=2y1-2(s+t)+4
由2y1-2(s+t)+4=2(t+s)+2,得y1=2(t+s)-1>0,
即:数列{yn}是首项为正,公差为负的等差数列,
∴一定存在一个最小自然数M,使
yM≥0
yM+1<0
,即
2(t+s)-1+(M-1)(-2)≥0
2(t+s)-1+M(-2)<0

解得t+s-
1
2
<M≤t+s+
1
2
.∵M∈N*,∴M=t+s.
即存在自然数M,其最小值为t+s,使得当n>M时,xn>1恒成立.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数,前n项和为Sn,已知点Pn(xn,Sn)在直线y=kx+b上,(其中,常数k≠0,且k≠1),又yn=log0.5xn
(1)求证:数列{xn}是等比数列;
(2)如果yn=18-3n,求实数k,b的值;
(3)如果存在t,s∈N*,s≠t,使得点(t,ys)和(s,yt)都在直线y=2x+1上,试判断,是否存在自然数M,当n>M时,xn>1恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年江苏省泰州市泰兴三中高三数学调研试卷(解析版) 题型:解答题

设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数,前n项和为Sn,已知点Pn(xn,Sn)在直线y=kx+b上,(其中,常数k≠0,且k≠1),又yn=log0.5xn
(1)求证:数列{xn}是等比数列;
(2)如果yn=18-3n,求实数k,b的值;
(3)如果存在t,s∈N*,s≠t,使得点(t,ys)和(s,yt)都在直线y=2x+1上,试判断,是否存在自然数M,当n>M时,xn>1恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2008年浙江省杭州市高考数学二模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数,前n项和为Sn,已知点Pn(xn,Sn)在直线y=kx+b上,(其中,常数k≠0,且k≠1),又yn=log0.5xn
(1)求证:数列{xn}是等比数列;
(2)如果yn=18-3n,求实数k,b的值;
(3)如果存在t,s∈N*,s≠t,使得点(t,ys)和(s,yt)都在直线y=2x+1上,试判断,是否存在自然数M,当n>M时,xn>1恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数,前n项和为Sn,已知点Pn(xn,Sn)在直线y=kx+b上(其中,常数k≠0,且k≠1),又yn=log0.5xn.

(1)求证:数列{xn}是等比数列;

(2)如果yn=18-3n,求实数k,b的值;

(3)如果存在t,s∈N*,s≠t,使得点(t,ys)和(s,yt)都在直线y=2x+1上,试判断,是否存在自然数M,当n>M时,xn>1恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案