Question

设数列{x_n}的所有项都是不等于1的正数，前n项和为S_n，已知点P_n（x_n，S_n）在直线y=kx+b上，（其中，常数k≠0，且k≠1），又y_n=log_0.5x_n．
（1）求证：数列{x_n}是等比数列；
（2）如果y_n=18-3n，求实数k，b的值；
（3）如果存在t，s∈N^*，s≠t，使得点（t，y_s）和（s，y_t）都在直线y=2x+1上，试判断，是否存在自然数M，当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=S_n+1-S_n着手考虑，把点P_n、P_n+1的坐标代入直线y=kx+b，然后两式相减得x_n+1与x_n的关系式，最后整理为等比数列的形式即可．
（2）由（1）知{x_n}是等比数列，则根据条件消去y_n得x_n与n的关系式，此时与等比数列通项x_n=x₁q^n-1相比较，易得x₁与q，进而可求得k与b．
（3）由{x_n}是等比数列且y_n=log_0.5x_n可得数列{y_n}为等差数列；由y_s、y_t作差得数列{y_n}是d=-2的等差数列；所以当n＞M时，x_n＞1恒成立问题应利用y_n=log_0.5x_n转化为y_n＜0恒成立的问题；再把数列{y_n}的首项用s、t的关系式表示出来，则可表示出数列{y_n}的通项；最后列不等式组，解出M，即证明问题．

解答：解：（1）∵点P_n（x_n，S_n），P_n+1（x_n+1，S_n+1）都在直线y=kx+b上，
∴S_n=kx_n+b，S_n+1=kx_n+1+b
两式相减得S_n+1-S_n=kx_n+1-kx_n，即x_n+1=kx_n+1-kx_n，
∵常数k≠0，且k≠1，∴

xn+1

xn

=

k

k-1

（非零常数）
∴数列x_n是等比数列．
（2）由y_n=log_0.5x_n，得xn=(

1

2

)yn=8n-6=8-58n-1，
∴

k

k-1

=8，得k=

8

7

．
又P_n在直线上，得S_n=kx_n+b，
令n=1得b=S1-

8

7

x1=-

1

7

x1=-

8-5

7

．
（3）∵y_n=log_0.5x_n∴当n＞M时，x_n＞1恒成立等价于y_n＜0恒成立．
又y_n=log_0.5x_n=log_0.5（x₁•q^n-1）=nlog_0.5q+log_0.5

x1

q

∴数列{y_n}为等差数列
∵存在t，s∈N^*，使得（t，y_s）和（s，y_t）都在y=2x+1上，
∴y_s=2t+1 ①，y_t=2s+1 ②．
①-②得：y_s-y_t=2（t-s），
∵s≠t∴y_n是公差d=-2＜0的等差数列
①+②得：y_s+y_t=2（t+s）+2，
又y_s+y_t=y₁+（s-1）•（-2）+y₁+（t-1）•（-2）=2y₁-2（s+t）+4
由2y₁-2（s+t）+4=2（t+s）+2，得y₁=2（t+s）-1＞0，
即：数列{y_n}是首项为正，公差为负的等差数列，
∴一定存在一个最小自然数M，使

yM≥0 yM+1＜0

，即

2(t+s)-1+(M-1)(-2)≥0 2(t+s)-1+M(-2)＜0

解得t+s-

1

2

＜M≤t+s+

1

2

．∵M∈N^*，∴M=t+s．
即存在自然数M，其最小值为t+s，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立．

点评：a_n+1=S_n+1-S_n是实现数列{a_n}，由其前n项和S_n向a_n转化的重要桥梁；要熟悉等差数列的解析式形式：a_n=An+B即一次函数型，等比数列的解析式形式为：a_n=Aqⁿ指数型函数．