设数列{xn}的所有项都是不等于1的正数,前n项和为Sn,已知点Pn(xn,Sn)在直线y=kx+b上,(其中,常数k≠0,且k≠1),又yn=log0.5xn.
(1)求证:数列{xn}是等比数列;
(2)如果yn=18-3n,求实数k,b的值;
(3)如果存在t,s∈N*,s≠t,使得点(t,ys)和(s,yt)都在直线y=2x+1上,试判断,是否存在自然数M,当n>M时,xn>1恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.
【答案】
分析:(1)由a
n+1=S
n+1-S
n着手考虑,把点P
n、P
n+1的坐标代入直线y=kx+b,然后两式相减得x
n+1与x
n的关系式,最后整理为等比数列的形式即可.
(2)由(1)知{x
n}是等比数列,则根据条件消去y
n得x
n与n的关系式,此时与等比数列通项x
n=x
1q
n-1相比较,易得x
1与q,进而可求得k与b.
(3)由{x
n}是等比数列且y
n=log
0.5x
n可得数列{y
n}为等差数列;由y
s、y
t作差得数列{y
n}是d=-2的等差数列;所以当n>M时,x
n>1恒成立问题应利用y
n=log
0.5x
n转化为y
n<0恒成立的问题;再把数列{y
n}的首项用s、t的关系式表示出来,则可表示出数列{y
n}的通项;最后列不等式组,解出M,即证明问题.
解答:解:(1)∵点P
n(x
n,S
n),P
n+1(x
n+1,S
n+1)都在直线y=kx+b上,
∴S
n=kx
n+b,S
n+1=kx
n+1+b
两式相减得S
n+1-S
n=kx
n+1-kx
n,即x
n+1=kx
n+1-kx
n,
∵常数k≠0,且k≠1,∴
(非零常数)
∴数列x
n是等比数列.
(2)由y
n=log
0.5x
n,得
,
∴
,得
.
又P
n在直线上,得S
n=kx
n+b,
令n=1得
.
(3)∵y
n=log
0.5x
n∴当n>M时,x
n>1恒成立等价于y
n<0恒成立.
又y
n=log
0.5x
n=log
0.5(x
1•q
n-1)=nlog
0.5q+log
0.5∴数列{y
n}为等差数列
∵存在t,s∈N
*,使得(t,y
s)和(s,y
t)都在y=2x+1上,
∴y
s=2t+1 ①,y
t=2s+1 ②.
①-②得:y
s-y
t=2(t-s),
∵s≠t∴y
n是公差d=-2<0的等差数列
①+②得:y
s+y
t=2(t+s)+2,
又y
s+y
t=y
1+(s-1)•(-2)+y
1+(t-1)•(-2)=2y
1-2(s+t)+4
由2y
1-2(s+t)+4=2(t+s)+2,得y
1=2(t+s)-1>0,
即:数列{y
n}是首项为正,公差为负的等差数列,
∴一定存在一个最小自然数M,使
,即
解得
.∵M∈N
*,∴M=t+s.
即存在自然数M,其最小值为t+s,使得当n>M时,x
n>1恒成立.
点评:a
n+1=S
n+1-S
n是实现数列{a
n},由其前n项和S
n向a
n转化的重要桥梁;要熟悉等差数列的解析式形式:a
n=An+B即一次函数型,等比数列的解析式形式为:a
n=Aq
n指数型函数.