Question

【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题．每小题l0分．共计20分．请在答题纸指定    区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4-1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交口BC于F，求的值．

B．选修4-2：矩阵与变换

  已知矩阵M= ，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量．

Answer 1

【选做题】

A.选修4－1：几何证明选讲

过D点作DM∥AF交BC于M，因为DM∥AF，

所以，……………………………………２分

因为EF∥DM，所以，即，…４分

又，

即，……………………………………………８分

所以，因此．　……………………………10分

B.选修4－2：矩阵与变换

矩阵的特征多项式为，………………２分

令，解得，　………………………………４分

将代入二元一次方程组 解得，…………………６分

所以矩阵属于特征值1的一个特征向量为；………………８分

同理，矩阵属于特征值2的一个特征向量为．…………………10分

C.选修4 - 4：坐标系与参数方程

因为直线的极坐标方程为，

所以直线的普通方程为，……………………３分

又因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的直角坐标方程为， ……………６分

联立解方程组得或……………８分

根据的范围应舍去故点的直角坐标为．………10分

D.选修4－5：不等式选讲

因为

，………………………………2分

所以时，取最小值，即，………5分

因为，由柯西不等式得

，……………………8分

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为． …………………………10分