Question

设函数f（x）=2ax³-（6a+3）x²+12x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（-∞，1）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，最后代入函数求出极大值与极小值；
（2）欲使函数f（x）在区间（-∞，1）上是增函数，只需使在区间（-∞，1）上f′（x）≥0恒成立，注意分类讨论即可．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2x³-9x²+12x（1分）
∴f′（x）=6x²-18x+12=6（x²-3x+2），（2分）
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=2，列表

∴f（x）的极大值为f（1）=5，f（x）的极小值为f（2）=4（6分）
（Ⅱ）f′（x）=6ax²-（12a+6）x+12=6[ax²-（2a+1）x+2]=6（ax-1）（x-2）（7分）
①若a=0，则f（x）=-3x²+12x，
此函数在（-∞，2）上单调递增，满足题意（8分）
②若a≠0，则令f′（x）=0，得x₁=2，x2=

1

a

，
由已知，f（x）在区间（-∞，1）上是增函数，
即当x＜1时，f′（x）≥0恒成立（10分）
若a＞0，则只须

1

a

≥1，即0＜a≤1（11分）
若a＜0，则

1

a

＜0，当x＜

1

a

时，f'（x）＜0，
则f（x）在区间（-∞，1）上不是增函数
综上所述，实数a的取值范围是[0，1]（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数函数的极值等有关知识，属于中档题．