Question

【题目】已知函数，直线的方程为.

（1）若直线是曲线的切线，求证: 对任意成立；

（2）若对任意恒成立，求实数是应满足的条件.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或.

【解析】试题分析：（1）根据切线的方程，写出斜率和截距，构造新函数，对新函数求导，得到在x∈（-∞，t）上单调递减，在x∈（t，+∞）为单调递增，即得到函数的最小值，根据函数思想得到不等式成立．
（2）构造新函数，对新函数求导，判断函数的单调性，针对于k的不同值，函数的单调性不同，需要进行讨论，求出函数的最小值，得到要写的条件．

试题解析：

（1）因为，设切点为， 所以，

所以直线的方程为: ，

令函数，

即，

所以在单调递减，在单调递增，

所以

故，

即对任意成立.

（2）令

①当时， ，则在单调递增，

所以

即，符合题意.

②当时， 在上单调递减，在单调递增,

所以

即

综上所述：满足题意的条件是或