Question

已知函数f （x）是定义在R上的奇函数，若f（x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，且f （x）＞0，则以下不等式不一定成立的是

1. A.
   f （a）＞f （0）
2. B.
   f （）＞f （）
3. C.
   f （）＞f （-a）
4. D.
   f （）＞f （-2）

Answer 1

D
分析：对于A，根据函数f （x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，利用f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，且f （x）＞0，可得f（a）＞f（0）；
对于B，利用基本不等式可得，结合f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，即可得到结论；
对于C，先确定，利用f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，函数f （x）是定义在R上的奇函数，即可得到结论；
对于D，由a＞2，可得=，分类讨论，即可得到结论．
解答：对于A，∵函数f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∵f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，且f （x）＞0，∴f（a）＞f（0），即A成立；
对于B，∵a＞2，∴，∵f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，∴f （）＞f （），即B成立；
对于C，∵a＞2，∴=＜0，∴
∵=＞0，∴
∵f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，
∴f（）＜f（a）
∴-f（）＞-f（a）
∵函数f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（）＞f（-a），即C成立；
对于D，∵a＞2，∴=
若2＜a＜3，则，∴，∵f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，
∴f（）＜f（2）
∴-f（）＞-f（2）
∵函数f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（）＞f（-2），即D成立；
若a≥3，则，∴，∵f （x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，
∴f（）≥f（2）
∴-f（）≤-f（2）
∵函数f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（）≤f（-2），即D不成立；
故选D．
点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．