Question

已知函数f（x）是定义在R上，图象关于原点对称，且是f(x+1)=-

1

f(x)

，当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，则f（log

1

2

6）=

-

1

2

．

Answer 1

分析：先确定log

1

2

6的取值范围，利用函数的周期性与函数的奇函数的性质将f（log

1

2

6）的值用f（log2

3

2

）的值表示出来，再由x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，即可求出答案．

解答：解：∵f(x+1)=-

1

f(x)

，
∴f(x+2)=-

1

f(x+1)

=f（x），
∴函数f（x）是周期函数，周期T=2，
∵函数f（x）是定义在R上，图象关于原点对称，
∴f（x）是R上的奇函数，
f（log

1

2

6）=f（-log₂6）=f（-log₂6+2）=f（log2

1

6

+log24）=f（log2

2

3

）=f（-log2

3

2

）=-f（log2

3

2

），
又当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，
∴f（log2

3

2

）=2log2

3

2

-1=

3

2

-1=

1

2

，
∴f（log

1

2

6）=-

1

2

，
故答案为：-

1

2

．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，考查了函数的奇偶性，周期性，以及对数的运算性质，考查了函数的求值．综合考查了函数性质的应用．属于中档题．