Question

已知函数f（x）=log₃

3 x

1-x

，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是f（x）图象上的两点，且x₁+x₂=1．
（1）求证：y₁+y₂为定值；
（2）若S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）（n∈N^*，N≥2），求S_n；
（3）在（2）的条件下，若a_n=

1 6  ，n=1 1 4(Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

（n∈N^*），T_n为数列{a_n}的前n项和．求T_n．

Answer 1

分析：（1）先根据函数的表达式求y₁+y₂=log₃

3 x1

1-x1

+lo₃

3 x2

1-x2

=lo₃

3x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

，再结合x₁+x₂=1即可得出答案；
（2）由（1）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1，从而有S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）①再将此式倒序又得一式：S_n=f（

n-1

n

）+…+f（

2

n

）+f（

1

n

）两式相加即可；
（3）当n≥2时，a_n=

1

n+1

-

1

n+2

，从而利用裂项求和法即可得出T_n结果．

解答：解：（1）证明：由x₁+x₂=1，
y₁+y₂=log₃

3 x1

1-x1

+lo₃

3 x2

1-x2

=lo₃

3x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=1，
（2）由（1）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1
S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）①
S_n=f（

n-1

n

）+…+f（

2

n

）+f（

1

n

）  ②
①+②得S_n=

n-1

2

（3）当n≥2时，
a_n=

1

4× n+1 2 • n+2 2

=

1

n+1

-

1

n+2

又当n=1时，a₁=

1

6

所以a_n=

1

n+1

-

1

n+2

故T_n=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）=

n

2(n+2)

．

点评：本题主要考查数列与函数的综合，以及综合运用上述知识分析问题和解决问题的能力．