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    【题目】如图，以，为顶点作正三角形，再以和的中点为顶点作正三角形，再以和的中点为顶点作正三角形，，如此继续下去.有如下结论：

    ①所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列；

    ②每一个正三角形都有一个顶点在直线上；

    ③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点的坐标是；

    ④第个正三角形的不在第个正三角形边上的顶点的横坐标是，则.

    其中正确结论的序号是___________.（把你认为正确结论的序号都填上）

    【答案】①②③④

    【解析】

    根据规律可判断①②真假，结合图形求出点的坐标，可判断③真假，求出第个正三角形的不在第个正三角形边上的顶点的横坐标是，然后求极限可得结论.

    解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上一个正三角形边长的，故①正确；

    根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线上，故②正确；

    第六个正三角形的边长为，故顶点的横坐标为，的纵坐标为

    ，从而顶点的纵坐标为，故③正确；

    第个正三角形的不在第个正三角形边上的顶点的横坐标是，

    ，，，，，通过图象可得，故④正确.

    故答案为：①②③④.

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