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    某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．

    (1)将2006年该产品的利润(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数；

    (2)该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

    答案：
    解析：

    　　解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1(万件)，

    　　∴1＝3－k，即k＝2．

    　　∴x＝．

    　　由题意，得每件产品的销售价格为1.5×(元)，则2006年的利润

    　　y＝x[1.5×]－(8＋16x＋m)

    　　＝4＋8x－m

    　　＝4＋8(3)－m

    　　＝－m＋28(m≥0)，

    　　即y＝－m＋28(m≥0)．

    　　(2)下面证明当0≤m≤3时，函数y＝－m＋28是增函数．

    　　设0≤m1＜m2≤3，则

    　　y1－y2＝(－m1＋28)－(－m2＋28)

    　　＝()＋(m2－m1)

    　　＝＋(m2－m1)

    　　＝(m1－m2)[－1]，

    　　∵0≤m1＜m2≤3，∴m1－m2＜0，0＜(m2＋1)(m1＋1)＜16．

    　　∴＞1．

    　　∴－1＞0．

    　　∴y1＜y2．

    　　∴当0≤m≤3时，函数y＝－m＋28是增函数．

    　　同理可证，当m＞3时，函数y＝－m＋28是减函数．

    　　则当m＝3(万元)时，ymin＝21(万元)．

    　　∴该厂家2006年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元．


    提示：

    　　(1)本题含有多个计算公式：年利润＝年销售收入－总成本；年销售收入＝年销售量×销售价格；总成本＝产品成本＋促销费用；销售价格＝1.5×每件产品年平均成本；产品成本＝固定投入＋再投入；每件产品年平均成本＝产品成本/年销售量．

    　　(2)转化为求函数y＝f(m)的最大值．


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    (1)将2006年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；

    (2)该企业2006年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

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    某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）。

       （1）将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

       （2）该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).

    (1)将2006年该产品的利润(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数；

    (2)该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?

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    (1)将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

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