【题目】已知函数
.
（1）求
的单调递增区间；
（2）若函数有两个极值点
且
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）
的定义域为
，对求导，分
、
和
三种情况，分别讨论，可求得函数的单调递增区间；
（2）由（1）知有两个极值点
时，等价于方程
有两个不等正根，可求得
，
，及
，
，由
恒成立，可得
恒成立，构造函数
，求导并判断单调性可知
，令
即可.
（1）的定义域为，求导得
，
令
，得，
，
若时，
，
在上恒成立，单调递增；
若
时，
，方程的两根为
，
.
当时，
，
，则
时，
，故在
单调递增；
当时，
，则
或时，，故在
和上单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为
；当时，的单调递增区间为
，；当时，的单调递增区间为.
（2）由（1）知有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根
，
，，，
此时不等式恒成立，等价于
对
恒成立，
可化为
恒成立，
令，
则
，
，
，
，
在
恒成立，
在上单调递减，
，
.
故实数
的取值范围是.
口算题卡加应用题集训系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
，
为参数），以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的坐标方程为
，若直线与曲线相切.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）在曲线上取两点
、
于原点构成
，且满足
，求面积的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，直三棱柱
中，
且
，
是棱
上的动点，
是
的中点.
（1）当是中点时，求证：
平面
；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面
所成锐二面角为
，若存在，求
的长，若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的焦距为
，椭圆
上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线
与椭圆交于
两点，点
（0，1），且
=
，求直线的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知双曲线
：
的左、右焦点分别是
、
，左、右两顶点分别是
、
，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点
如图)．
⑴若
是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角
；
⑵若
，
，
，
，试求双曲线的方程；
⑶在⑴的条件下，且
，点C与双曲线的顶点不重合，直线
和直线
与直线l：
分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量
（万只）与时间
（年）（其中
）的关系为
．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值
（其中
为常数，且
）来进行生态环境分析．
（1）当
时，求比值
取最小值时
的值；
（2）经过调查，环保部门发现：当比值
不超过
时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数
的取值范围．（
为自然对数的底， 
）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在四棱锥
中，四边形
为平行四边形，
，
为
中点,
（1）求证：
平面
；
（2）若
是正三角形，且
.
(Ⅰ)当点
在线段
上什么位置时，有
平面
？
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点
在线段
上什么位置时，有平面
平面
？
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