Question

【题目】已知椭圆的焦距为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线 与椭圆交于两点，点（0，1），且=，求直线的方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 或.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为可得，由的焦距为，可得，再由的关系可得，进而得到椭圆方程；（II）直线代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得的方程，解方程可得，从而可得直线方程.

试题解析：（Ⅰ）由已知，,解得，,

所以，

所以椭圆C的方程为。

（Ⅱ）由 得，

直线与椭圆有两个不同的交点，所以解得。

设A（，），B（，）

则，，

计算，

所以，A，B中点坐标E（，）,

因为=，所以PE⊥AB，,

所以, 解得,

经检验，符合题意，所以直线的方程为或.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.