Question

已知数列{a_n}是递增的等差数列，且满足a₃a₅=16，a₂+a₆=10
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（a n +7）-

2n

3

，求数列b_n的前n项和T_n．
（Ⅲ） 令cn=(

Tn-2

2n-2

)2-3n(n≥2)，且c1=1，求证

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

＜

4

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₂+a₆=10，知a₂+a₆=10=a₃+a₅，由a₃•a₅=16，知a₃，a₅是方程x²-10x+16=0的两根，且a₃＜a₅，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由bn=(an+7)•

2n

3

=n•2ⁿ，知T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）由题设知cn=4n-3n，从而能证明

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

＜

4

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵a₂+a₆=10，
∴a₂+a₆=10=a₃+a₅，
又∵a₃•a₅=16，
所以a₃，a₅是方程x²-10x+16=0的两根，且a₃＜a₅，
解得a₅=8，a₃=2，所以d=3，a_n=3n-7．…（5分）
（Ⅱ）bn=(an+7)•

2n

3

=n•2ⁿ，
则T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②…（7分）
①一②，得-T_n=2+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹，…（9分）
所以Tn=n•2n+1-2n+1+2
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．…（10分）
（Ⅲ）∵cn=(

Tn-2

2n-2

)2-3n(n≥2)，且c1=1，
∴c_n=4ⁿ-3ⁿ，且c₁=1满足上式．
∴cn=4n-3n
∵c_n=4ⁿ-3ⁿ=4•4^n-1-3•3^n-1=4^n-1+3（4^n-1-3^n-1）≥4^n-1，
∴

1

cn

≤

1

4n-1

．…（12分）
∴

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…

1

cn

≤1+

1

41

+

1

42

+…+

1

4n-1

=

1•(1- 1 4n )

1- 1 4

＜

4

3

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．