Question

有如下四个命题：
①平面α和平面β垂直的充要条件是平面α内至少有一条直线与平面β垂直；
②平面α和平面β平行的一个必要不充分条件是α内有无数条直线与平面β平行；
③直线a与平面α平行的一个充分不必要条件是平面α内有一条直线与直线a平行；
④两条直线平行是这两条直线在一个平面内的射影互相平行的既不充分也不必要条件．
其中正确的序号是________．

Answer 1

①②④
分析：①平面α和平面β垂直的充要条件是平面α内至少有一条直线与平面β垂直，此命题可由线面垂直的判定定理作出判断；
②平面α和平面β平行的一个必要不充分条件是α内有无数条直线与平面β平行，此命题可由面面平行的定义作出判断；
③直线a与平面α平行的一个充分不必要条件是平面α内有一条直线与直线a平行，可由线面平行的判定定理作出判断；
④两条直线平行是这两条直线在一个平面内的射影互相平行的既不充分也不必要条件，可由直线在面中的各种投影关系作出判断．
解答：①平面α和平面β垂直的充要条件是平面α内至少有一条直线与平面β垂直，是一个正确命题，由定理过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直；
②平面α和平面β平行的一个必要不充分条件是α内有无数条直线与平面β平行，正确命题，两平面平行，可得出一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，反之，一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，推不出两平面平行；
③直线a与平面α平行的一个充分不必要条件是平面α内有一条直线与直线a平行，错误命题，此是一个充要条件；
④两条直线平行是这两条直线在一个平面内的射影互相平行的既不充分也不必要条件，正确命题，两条直线平行时，在同一个平面内的投影可以是两个点，不能得射影平行，如果两个直线在平面内的投影平行，两直线的位置关系可能是异面．
故答案为：①②④
点评：本题考查空间中直线与平面的位置关系，主要考查了对几个定理的正确理解，是基本概念型题．